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怎样用通俗易懂的方法明确窗函数

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  • 宣布时间:2017/7/21 16:42:50
  • 作者:pl_yinhe

  我们知道数字信号处置惩罚的主要数学工具是傅里叶变换,而傅里叶变换是研究整个时间域和频率域的关系,当运用盘算机实现测试信号处置惩罚时,不可能对无限长的信号举行丈量和运算,而是取其有限的时间片断举行剖析。详细做法是从信号中截取一个时间片断,然后用截取的信号时间片断举行周期延拓处置惩罚,获得虚拟的无限长信号,再举行傅里叶变换和相关剖析。无限长信号被截断后,其频谱爆发了畸变,我们称为频谱能量走漏,为了镌汰频谱走漏,可接纳差别的截取函数对信号举行截断,截断函数称为窗函数,简称为窗。

为什么要加窗

  每次FFT变换只能对有限长度的时域数据举行变换,因此需要对时域信号举行信号截断,纵然是周期信号,若是截断的时间长度不是周期的整数倍(整周期截断),那么截取后的信号将会保存频谱走漏,为了将这个走漏误差镌汰到最小水平(不是消除),我们需要使用窗函数。加窗主要是为了使时域信号似乎更好的知足FFT处置惩罚的周期性要求,镌汰走漏。

图1 整周期截断、非整周期截断及加窗后的频谱

图1 整周期截断、非整周期截断及加窗后的频谱

  如上图1所示,若整周期截断,则FFT频谱为简单谱线。若为非整周期截断,则频谱泛起拖尾,可以看出走漏很严重。为了镌汰走漏,给信号施加一个窗函数,原始截断后的信号与这个窗函数相乘之后获得的信号为图1最右侧的信号?梢钥闯,此时信号的起始时刻和竣事时刻幅值都为0,也就是说在这个时间长度内,信号为周期信号,可是只有一个周期,对这个信号做FFT剖析,相比之前未加窗的频谱,走漏已显着改善,但并未完全消除,因此窗函数只能镌汰走漏,不可消除走漏。

窗函数的界说

  信号截断时,只能截取一定长度,哪怕原始信号是无限长,就似乎是用一个“窗”(确切来说更像一个“框”)去做这样的截取。如下图2所示,原始信号是周期信号,时间很长,截取时用红色的“窗”去截取这个周期信号,截取获得的信号如图3所示。

图2 原始信号

图2 原始信号

图3 时间窗截断后的信号

图3 时间窗截断后的信号

  虽然,这个“窗”是一个单位权重的加权函数,成为“矩形窗”。这个“窗”外的信号是看不到的,就好比通过窗户看外面的天下,天下很大也很精彩,但您能看到的只是位于窗内的天下。这就是为什么这样的加权函数被成为窗函数的真正缘故原由。

  上图3中用于截守信号的时域截取函数称为窗函数,它是一种加权函数,差别窗的加权是纷歧样的,也就是说,可以用差别的窗函数来做信号截断。常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗、平顶窗和指数窗等。

窗函数的时频域特征

  加窗实质是用一个所谓的窗函数与原始的时域信号做乘积的历程,使得相乘后的信号似乎更好的知足傅里叶变换的周期性要求,如下图4所示,原始的信号是不知足FFT变换的周期性要求的,变换后保存走漏,若是施加一个窗函数,会在一定水平上镌汰走漏。

图4 信号加窗

原始周期信号                                      窗函数                             加窗后的信号

图4 信号加窗

  使用差别的时间窗,他们的时域形状和频域特征是不相同的,这里主要先容三种常见的窗函数的时域表达形式,以及他们的时域窗形状和频域特征。这三种窗划分是矩形窗、汉宁窗清静顶窗。它们的时域表达式如下表所示,并且假设时间窗的规模为0≤t≤T,t的取值区间差别,窗函数的表达形式会略有差别。

窗函数 时域表达式
矩形窗 矩形窗
汉宁窗 汉宁窗
平顶窗 平顶窗

  矩形窗、汉宁窗清静顶窗的时域形状和频域特征如下图5~图6所示,可以看出,窗函数差别,时域和频域都是差别的。

三种窗函数的时域形状

图5 三种窗函数的时域形状

图6 三种窗函数的频域特征

图6 三种窗函数的频域特征

  窗函数的典范频谱特征如下图7所示:

图7 窗函数的典范频谱特征

图7 窗函数的典范频谱特征

加窗函数的原则

  加窗函数时,应使窗函数频谱的主瓣宽度应只管窄,以获得高的频率区分能力;旁瓣衰减应只管大,以镌汰频谱拖尾。但通常都不可同时知足这两个要求,种种窗的差别主要在集中于主瓣的能量和疏散在所有旁瓣的能量之比。

  窗函数的选择取决于剖析的目的和被剖析信号的类型,一样平常来说,有用噪声频带越宽,频率区分能力越差,越难于分清有相同幅值的相近频率。选择性的提高与旁瓣的衰减率有关,通常有用噪声带宽窄的窗,其旁瓣的衰减率较低,因此窗的选择在二者中举行折中处置惩罚。

  窗函数的选择一样平常原则如下:

  1. 若是截断的信号仍为周期信号,则不保存走漏,无需加窗,相当于加矩形窗;

  2. 若是信号是随机信号或者未知信号,或者有多个频率分量,测试关注的是频率点而非能量巨细,建议选择汉宁窗;

  3. 关于校准目的,则要求幅值准确,平顶窗是个不错的选择;

  4. 若是同时要求幅值精度和频率精度,可选择凯塞窗;

  5. 若是检测两个频率相近、幅值差别的信号,建议用布莱克曼窗;

  6. 锤击法试验,力信号加力窗,响应可加指数窗。


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